第八单元 数学广角-找次品
第八单元 数学广角-找次品
课程名称 | 数学广角-找次品 | 设计者 | 赵春艳 | 学校 | 宁武县阳方口镇中心校 | 总课时 | 2 |
适用年级 | 五年级 | 课程类型 | 基础课程 | 统整方式 | 单元内 ¨超单元 | ||
课程解读 | |||||||
年段课标目标结构 | 《新课程标准2022版》指出本单元以”找次品”这一探索性操作活动为载体，让学生通过观察、猜测、试验等方式探索解决问题的策略。同时，进一步理解随机事件（如2个零中有1个较重的次品。只要把这2个零件放在天平两端，天平一定不平衡，如果3个零件中有1个较重的次品，任意取2个放在天平两端，天平可能平衡，也有可能不平衡），感受解决问题策略的多样和优化想，培养观察、分析，逻辑理的能力。并学习如何用直观的方式晰、简洁，有条理地表示推理过程。 “找次品”问题是一类经典的数学问题，可以细分为许多类型。有的类型解决起来相当复杂。教材造择了比较简单的一类作为例题。即。有n个从外表看完全相同的零件，其中一个次品。次品比合格品重（或轻）一些。假如用没有砝码的天平称，最少称几次就能保证找出这个次品？ 对于这一问题，一股性的解决方法是“把这n个零件尽可能平均分成3份”。这是由天平特点决定的，因为天平有两个托盘，所以次品的位置无外乎三个地方，即两个托盘上、天平外，天平称一次就能确定出次品在三个位置中的哪一个。面要使称量的次数最少。每次称后就应把这次品确定在更小的范围内。通过一系列一找次品”活动，由简单到复杂，教材让学生在比较、猜中找次品。而且教材从习题，不断引导学生学习用符号、文字直观。简洁地表示思维过程。使学生在潜移默化中学会数学地表达，有意识地培养思维的条理性、逻辑性和准确性。
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教材内容结构分析 |
本单元以“找次品”这一探索性操作活动为载体，让学生通过观察、猜测、试验等方式探索解决问题的策略。同时，进一步理解随机事件，感受解决问题策略的多样性和优化思想，培养观察、分析、逻辑推理的能力，并学习如何用直观的方式清晰、简洁、有条理地表示逻辑推理过程。首先，教科书从最简单的问题（3瓶钙片）入手，让学生讨论找次品的方法，通过用天平直观演示，说明基本推理过程：如果天平平衡……如果天平不平衡……，引导学生用直观方式记录找次品的思维过程，了解找次品的基本思路。 在此基础上，从8个零件中找出1个次品（重一些），探索找次品的一般方法。教科书通过“直观图”示例引导，启发学生将推理的过程用直观、简洁的方式表示出来，并通过问题给出探索的线索，帮助学生找出称的次数最少的方法，进行归纳、验证，概括出找次品的最优方法。 本单元的教学重难点是理解并解决简单的“找次品”问题，充分经历“比较——猜测——验证”的过程，归纳出“找次品”的最优策略，感知逻辑推理的数学思想方法。需要说明的是，用天平找次品，并不是一定要通过天平称，而是利用天平平衡原理，通过逻辑推理确定次品。
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学情 分析 | 学生在本单元学习之前很少接触“找次品”问题，没有相关的学习与生活经验，而教科书中的“次品”与日常生活中提到的“次品”有所不同。本单元的次品是指从外表看完全相同的物品，其中重一些或轻一些的那一个就是“次品”。所以首先要让学生理解什么是“次品”。能在观察、实验、猜想、验证等活动中，进行有条理的思考。
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学习活动安排 | |||||||
关键 要素 | 教：（1）让学生通过比较、猜测、验证等活动，探索解决问题的策略。优化思想，感受解决 问题策略的多样性。培养观察、分所、推理的能力。 学：(1)学习用图形、符号等直观方式清晰、简明地表示数学思维的过程。培养逻辑思维的能力。 （2）通过解决实际生活中的简单间题。初少培养学生的应用识和解决实问题的能力
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实施 对策 | 1.让学生认真读题，充分理解“找次品”的意思，了解“正品”“次品”的含义。说理时，引导学生尽量用规范的语言“如果天平平衡……如果天平不平衡……”来表述，并理解这是两种情况。在此基础上，让学生把推导的过程用直观图或流程图辅以文字说明记录下来，这一点尤其重要。 2.让学生充分经历“比较——猜测——验证”的探究过程，理解找次品的最优策略。“至少称几次能保证找出次品”是理解的难点，这里要让学生理解“能保证”是指每一种可能的情况都要考虑，“至少”就是指在保证一定能找出次品的各种方法中称量次数最少的那种方案。在找次品的过程中，允许学生借助直观学具推理；用直观图或流程图直接推理；口头叙述。让学生多“说过程”，通过说体会到“尽可能将待测物品平均分成三份”的最优策略，培养逻辑推理能力。
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课时 安排 | （1)找次品（1） 1课时 （2）找次品（2） 1课时 | ||||||
课程实施
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第（一）课时找次品（1） | 教学内容 | P111~112例1、例2及“做一做”，练习二十七”中第1题。
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教学目标 | 1.初步理解找次品的含义，明确找次品的基本思路，探索找次品的一般方法。 2.经历解决简单问题的过程，渗透优化思想。
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教学流程 |
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教学准备 | 课件，天平，3瓶未拆封的钙片，每名学生5张扑克牌，记录单。
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教学过程 | 对照目标反思环节 | ||||||
一、创设现实情境，生成问题 出示3瓶外观一样的钙片。 师：同学们，看看我手上有什么？它们是一样的吗？ 师：看来同学们不仅会观察，还有批判性思维，真棒！ 师：老师手中这3瓶钙片，看起来是一样的，但其实是有一瓶少了一些。生活中常常有一些看似完全相同的物品中混着一个质量不同的物品（重一点或轻一点），需要想办法把它找出来，我们把这类问题称为找次品问题。[板书课题：找次品（1）] 【设计意图】利用学生熟悉的物品，通过外观一样而里面不一样，激发学生的思维，引导学生用数学的眼光看问题。 二、经历探究过程，领会找次品的基本思路 1.认识天平。 识天平。 师：同学们，认识这个工具吗？你们会使用天平吗？如果天平平衡说明什么？
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教师出示实物天平，认识天平。 师：同学们，认识这个工具吗？你们会使用天平吗？如果天平平衡说明什么？ 2.从3瓶钙片中找次品，感悟找次品的基本思路。 课件出示教科书P111例1。
师：运用天平，怎样才能很快地找出哪一瓶是次品呢？谁来说说你的想法？ 师：大家觉得这种方法怎么样？还有别的方法吗？ 师：那要怎么称？称几次就能找出这瓶次品呢？ 学生上讲台边说边演示。 师：你们的想法真好，因为天平有两个托盘，次品的位置只有两个托盘上和天平外三个地方，用天平称一次就能确定次品在什么位置，所以从三瓶钙片中找次品时平均分成三份，不仅天平左右两边的两瓶参与了比较，天平外的那瓶也参与了比较。 【学情预设】此时学生可能会想到用手掂一掂、倒出来数一数等方法。面对这些方法，学生也可能会提出用手掂并不准确，而倒出来数又不卫生，如果学生未能想到这些，教师要引导学生分析这些方法的不合理性。 师：你们还有别的方法吗？ 【设计意图】让学生借助已有的生活经验去寻找找次品的方法，进而引出用天平称的方法，这样的设计既顺应了学生的思维，又调动了学生的积极性。 （2）用直观的方式表达推理过程。 师：同学们的推理过程很清晰，我们可以用直观图将这个过程表示出来。 师：为了能清楚地表述，我们分别用数字卡片1、2、3代表这3瓶钙片。 师：先把1、2放在天平的两边，会有几种情况呢？ 师：这两种情况，我们可以这样表示。[板书： 师：如果平衡，能得到什么结论？如果不平衡，又能得到什么结论？ 结合学生的发言，板书：
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（3）梳理过程。 课件边呈现推理过程，需要称几次才能找出次品？（称1次就可以找到次品。） 【设计意图】由简单的数据开始，让学生经历分析推理的过程，并掌握基本的思路和表达方法。
师：同桌之间研究一下，看能不能也用刚才的符号或方法来解决，将探索情况填在记录单上，如果实在有困难的话也可以摆一摆。
师：哪个组来说说你们研究的情况？你能发现什么？ 师：师：从8个零件中找1个次品时很多同学都分成了3份，但只有分成3个、3个和2个时才能保证找出次品称的次数最少，结合表格中的数据，谁能分析一下？ 学生交流反馈。 教师根据学生反馈板书：8（1,1,1,1,1,1,1,1）4次；8（2,2,2,2）3次；8（3,3,2）2次；8（4,4）3次。 师：如果9瓶钙片中有1个是次品(次品轻一些)，至少称几次能保证找到次品？是怎么称的？ 【设计意图】本环节是在学生动手操作的基础上，将学习的主动权继续交给学生，让学生将自己的研究成果展示在同伴面前。在学生汇报的过程中，可能又会有不同的意见出现：对于从8瓶中找一瓶次品时很多同学都分成了3份，但只有分成3瓶、3瓶和2瓶时，保证找出次品称的次数最少。这将会再次引发学生的二次研究，促使学生对研究成果不断进行修正。 5.验证发现。 师：用你发现的方法算一算，要找出10个、11个、12个零件中的1个次品， | |
(次品重一些)，看看是不是平均分成3份保证找出次品称的次数也是最少的。 学生独立验证并交流。 师小结：经过研究、验证，我们发现，平均分成3份找次品，保证找到次品称的次数最少，不能平均分成3份的，要把余下的平均分到各组。我们是用了哪些方法得出了这样的结论？ 【设计意图】学生只有在经历知识形成的过程中所掌握的知识和方法才是鲜活的、可迁移的，学生的数学素质才能得到质的飞跃。所以在本环节教师需要引导学生进行了数学学习方法的小结，让学生感受到结论的得出依托于数学学习方法，将这些学习方法也可以渗透到学生今后的数学学习中。 三、实践应用，加深理解 课件出示教科书P113“练习二十七”第2题。 学生独立解答后小组内交流。 四、课堂小结 师：同学们，这节课就要结束了。你今天学了些什么？ 师：学了今天的知识能帮我们解决什么问题呢？
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作业设计 |
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板书设计 |
5（1，1，1，1，1，） 2次 8（1，1，1，1，1，1，1，1） 4次 5（1，1，1，2） 2次 8（2，2，2，2） 3次 5（2，2，1） 2次 8（3，3，2） 2次 5（1，1，3） 2次 8（4，4） 3次
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课程实施 | |||
第（二）课时找次品（2） | 教学内容 | P113~114“练习二十七”中第2~6题及“你知道吗？”。 | |
教学目标 | 1.通过练习，进一步掌握找次品的基本方法，了解稍复杂的找次品问题的解题策略。 2.体会解决问题策略的多样性，初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力，渗透优化思想。
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教学流程 |
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教学准备 | 课件
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教学过程 |
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一、复习找次品的方法 1.巩固练习。 课件出示教科书P114“练习二十七”第4题问题。
师：猜一猜，至少称几次能保证找出质量较轻的这袋糖果，并用图来表示出找次品的过程。
师：请你们把找的过程在教科书P114“练习二十七”第4题中写出来。 （1）学生独立在教科书上解答。 （2）全班展示交流。 【设计意图】再次经历推理的过程，熟悉找次品的最优方法。 2.归纳找次品的方法。 |
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教学过程 | 对照目标反思环节 | ||
师：从上节课到这节课，我们学会了用天平找次品，它的方法是怎样的？ 师：你在找次品的过程中发现了什么规律呢？[板书课题：找次品（2）] 学生同桌讨论。 【学情预设】学生可能会发现找次品时，从2~3个物品中找次品，只需要1次，从4~9个物品中找次品，都需要2次…… 师：请同学们看教科书P114“你知道吗？”，你又可以知道什么？ 【学情预设】教科书没有直接给出结论，但是根据给出的数据，学生一般能发现规律：小于或等于3n个物体中有一个次品，至少需要称n次才能保证找出次品。（板书） 【设计意图】结合具体的数据，让学生读一读教科书P114“你知道吗？”,发现找次品问题中蕴含的规律，并通过展示、交流，自己发现规律，理解规律并能在实际问题中应用规律。 3.运用规律，解决问题。 师：有20个物品，其中有1个次品（已知次品比正品重或轻。），保证能找出次品至少需要称几次？ 师：要保证至少6次能测出次品，待测物品可能是多少个？ 师：到底是多少个呢？ 【设计意图】通过具体的问题，加深学生对规律的理解。 二、通过探索，了解稍复杂的找次品问题 课件出示教科书P114“练习二十七”第5题。 （1）学生尝试解答。（2）反馈交流。 师：我们知道次品比正品轻还是重吗？ 师：这样称一次能不能找到次品？ 师小结：这样称一次是不能知道次品是比500克重还是比500克轻的。当天平不平衡的时候，不知道重的是次品，还是轻的是次品。 师：这种方法能找到次品吗？ 师：为什么平衡和不平衡都要将多的那一袋再称一次？ 师小结：这样用天平多称一次的目的就是帮助我们找到次品是偏重的还是偏轻的。 （2）拓展延伸。
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师：有8袋白糖，其中7袋每袋500克，另一袋不是500克，但不知道比500克重还是轻，至少称几次才能保证判断出另一袋比500克轻还是重呢？学生独立思考后把答案写在练习本上。 【设计意图】没有深入的思考是不可能得出准确的答案的，所以这是本节课教师第二次安排的有意培养学生独立思考能力的环节，让学生在思考的基础上写出答案，但多数同学写出来的答案还是有问题。于是“想一想你写对了吗”的提示语就显得很有必要了。
三、基础练习 1.课件呈现习题。
（1）学生独立解答。 （2）在巡视过程中发现典型做法，指名上台板演出称的过程。 （3）结合学生的板演，集中评价交流。 【设计意图】巩固用最优的方法“找次品”，进一步体验随机思想，进一步理解“至少称几次保证一定能够找出次品”的含义。 2课件呈现习题。
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（1）学生独立完成这道题。 （2）全班集中评价。 【设计意图】这道题都是运用已有的经验和知识解决问题，对于学生来说并不难，让学生独立解答，充分发挥他们的主观能动性。 3.完成教科书P113“练习二十七”第3题。 （1）学生独立完成这两道题。 （2）全班集中评价。 【设计意图】这道题都是运用已有的经验和知识解决问题，对于学生来说并不难，让学生独立解答，充分发挥他们的主观能动性。 四、课堂小结 师：本节课，我们又学习了找次品的方法，从中有哪些新的收获呢？
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作业设计 | 1．如果 2．1箱牛奶有12袋，其中11袋质量相同，另1袋质量不足，如果用天平来
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板书设计 |
找次品（2） 小于或等于3n个物体中有一个次品，至少需要称n次才能保证找出次品。
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课程评价 | 第八单元 测试题 一、选择题 1．有9瓶钙片，次品的一瓶少了4片．用天平至少称（ ）次可以保证找出次品． A．1B．2C．3 2．有10个玻璃珠，其中一个略轻一些，用天平称，至少称（ ）次才能保证找到它． A．2B．3C．4D．5 3．有12枚银元，外表完全一样，其中有一枚是假银元，比其它11枚稍轻一些。利用无砝码的天平至少称（ ）次才能找出这枚假银元。 A．1B．2 C．3D．4 4．下图是甲、乙两人本学期五次数学测验成绩统计图，下面结论错误的是（ ）。
A．乙的成绩提高得比甲快 B．甲的平均成绩低于乙的平均成绩 C．乙的平均成绩低于甲的平均成绩 D．甲、乙两人的成绩都呈现出上升的趋势 5．有10袋白糖,其中9袋每袋500 g,另有1袋比500g轻,用天平称,至少称( )次就能保证把轻的那袋找出来。 A．2B．3C．4D．5 6．六个零件中有一个是次品，用天平称了三次（如下图），则次品（ ）。
A．是③号，比正品的质量重B．是③号，比正品的质量轻 C．是④号，比正品的质量重D．是④号，比正品的质量轻
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| 7．有19瓶口香糖，外观一样，但有一瓶比其他的少两粒。其他瓶都同样多，用天平称，至少称（ ）次能保证找出这瓶少的。 A．19B．9C．3 8．有7盒口香糖，6盒一样重，另一盒轻一些，如果要用天平称，下面表示称一次就刚好找出较轻的口香糖的是（ ）。（ A． C． 9．有9瓶水，其中8瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些，利用天平至少称（ ）次能保证找出这瓶盐水。 A．4B．3C．2 10．用一架天平称4次，最多能从（ ）个乒乓球中找出仅有1个因超重而不合格的乒乓球。 A．8B．32C．81D．96 二、填空题 11．有12颗颜色和外形一样的珍珠，其中有一颗是假的，比真的珍珠要轻，给你一架无砝码的天平，最少称（________）次就能保证找出假珍珠。 12．有9个零件，其中8个质量合格，另外有一个稍轻不合格，如果用天平称，至少称（________）次能保证找出这个不合格的零件来。 13．有9瓶水，其中8瓶质量相同，另有1瓶是盐水（略重一些），至少称（______）次，能保证找出这瓶盐水． 14．26个零件中混有1个质量较轻的次品，其余25个是合格的。如果用天平称，要用最少的次数保证找到这个次品，第一次应该将26个零件分成三组，那么这三组的个数分别是（________）、（________）和（________）。 15．有15瓶饮料,其中14瓶是冰红茶,另外有1瓶里装的是糖水,比其他的略重一些,至少称（____）次能保证找出这瓶糖水。 三、判断题 16．12袋糖果中只有一袋质量不足，用无砝码的天平称，至少需要称3次才能找出质量不足的那一袋。（________）
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| 17．工厂需要反映各车间的产量的多少，应选用折线统计图． （____） 18．李丽要从11个同一种型号的零件中找出一个质量不一样的次品，刘明要从26个这样的零件中找出一个不一样的次品，刘明用的次数一定比李丽多。_____ 19．有8盒饼干，其中1盒里少一块，至少要称3次才能找出这盒质量较少的饼干。（________） 20．9个零件中有1个次品(次品重一些),如果用天平称,至少称2次能保证找出次品。 （____）
四、解答题 21．立夏是夏季的第一个节气，很多人认为立夏就是夏天了，其实不然。在气象学上入夏的标准为：首次连续5天日平均气温大于或等于22℃，那么这5天的首日即为入夏日。下面是2019年5月18日—5月27日北京日平均气温情况统计图。
（1）北京近30年平均入夏日为5月19日，今年5月18日之前没有连续5天日平均气温大于或等于22℃。根据上面统计图中的数据可以看出，从5月（ ）日至（ ）日这5天北京日平均气温首次连续大于或等于22，由此确定北京今年入夏的时间是5月（ ）日。 （2）这5天的平均气温是多少摄氏度？（列式解答） 22．有15瓶水，其14瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。至少称几次能保证找出这瓶盐水？
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表示口香糖）
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